Sphère

Définition

Soit \(\Omega\) un point de l'espace et  \(r\) un réel positif. On appelle sphère de centre  \(\Omega\)  et de rayon  \(r\)  l'ensemble des points \(\text M\) de l'espace tels que  \(\Omega \text M = r\) .

 Remarque

Si  \(r=0\) , alors la sphère est réduite au seul point  \(\Omega\) .

Propriété

On se place dans un repère orthonormé de l'espace.
Soit  \(\Omega(x_0~;~y_0~;~z_0)\)  un point de l'espace et  \(r\)  un nombre réel positif.
On considère la sphère \(S\) de centre  \(\Omega\)  et de rayon  \(r\) .
Alors, on a :  \(\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2}\) .
Cette égalité est appelée une « équation cartésienne » de la sphère \(S\) .

Démonstration

L'espace est muni d'un repère orthonormé. Soit \(\text M(x~;~y~;~z)\) un point de l'espace.
Le vecteur  \(\overrightarrow{\Omega\text M}\)  a pour coordonnées  \(\begin{pmatrix} x-x_0\\y-y_0 \\z-z_0 \\ \end{pmatrix}\) , donc sa norme est donnée par  \(\Omega\text M = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}\) .

Or   \(\Omega\text M = r \Leftrightarrow \Omega\text M^2=r^2\) .
D'où : \(\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \Omega\text M = r \Leftrightarrow \Omega\text M^2=r^2 \Leftrightarrow\boxed{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2}\)

Exemple 1

On se place dans un repère orthonormé de l'espace. On considère la sphère \(S\) de centre  \(\text A(-1~;~2~;~0)\)  et de rayon  \(3\) .
On a :  \(\text M(x~;~y~;~z) \in S \Leftrightarrow \boxed{(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9}\) .
C'est une équation cartésienne de la sphère \(S\) .

Exemple 2

On se place dans un repère orthonormé de l'espace. On considère l'ensemble des points  \(\text M(x~;~y~;~z)\)  de l'espace tels que  \((x-2)^2+y^2+(z+3)^2=25\) .
Cet ensemble est la sphère de centre  \(\text A(2~;~0~;-3)\)  et de rayon  \(r=5\) .